7 · กระจก
ถ้าคุณเคยได้ยินใครพูดว่า ถ้ามันทำได้จริง ฉันยอมกินรองเท้าข้างนี้ คนพูดไม่ได้วางแผนจะกินรองเท้า เขากำลังใช้เครื่องมือทางตรรกะชิ้นหนึ่งอย่างแม่นยำ เขาผูกเรื่องที่เขาถือว่าไม่มีวันเกิดไว้เป็นปลายทางของคำว่าถ้า เพื่อบอกคุณว่าต้นทางเป็นเท็จ
สิ่งที่ทำให้จริงสมบูรณ์ไม่มีพิษภัย และทำให้เท็จสมบูรณ์ทำลายทุกอย่าง ไม่ได้อยู่ในตัวมันเลย มันอยู่ที่ว่าคุณวางมันไว้หน้าหรือหลังคำว่า ดังนั้น
หน้ากับหลัง
บทที่ 6 ดูสองขอบเฉพาะตอนที่มันถูกเพิ่มเข้าไปในชุดข้อตั้ง คือวางไว้หน้าคำว่าดังนั้น ตอนนั้นขอบบนไม่เปลี่ยนอะไร ส่วนขอบล่างพาไปถึงทุกอย่าง
แต่ประโยคหนึ่งยังวางไว้หลังคำว่าดังนั้นได้ด้วย ในฐานะปลายทางที่อาจเป็นไปได้ข้อหนึ่ง นักสืบที่พูดว่า ดังนั้นคนร้ายคือคนสวน หรือไม่ก็คนขับรถ กำลังวางปลายทางสองข้อไว้หลังคำว่าดังนั้น และประโยคของเขาอ่านได้ว่า อย่างน้อยหนึ่งข้อในนี้จริง เมื่อสลับฝั่งแบบนี้ บทบาทของสองขอบก็สลับตาม
| วางไว้หน้าคำว่าดังนั้น | วางไว้หลังคำว่าดังนั้น | |
|---|---|---|
| ขอบบน | ไม่เปลี่ยนอะไร | ทุกข้อตั้งพามาถึงได้ |
| ขอบล่าง | พาไปถึงทุกอย่าง | ไม่เปลี่ยนอะไร |
ช่องซ้ายบนกับช่องซ้ายล่างคือสิ่งที่บทที่ 6 พบแล้ว สัจนิรันดร์ที่เพิ่มเข้าไปในข้อตั้งไม่เปลี่ยนอะไร ข้อขัดแย้งที่เพิ่มเข้าไปพาไปถึงทุกประโยค
ช่องขวาบน ข้อสรุปว่า อะไรสักอย่าง หรือจริงสมบูรณ์ ตามมาจากข้อตั้งชุดไหนก็ได้ เพราะมีส่วนหนึ่งที่จริงในทุกโลกอยู่แล้ว ประโยคที่ว่าข้อความทุกข้อพาไปถึงจริงสมบูรณ์ได้ อยู่ในช่องนี้
ช่องขวาล่าง ข้อสรุปว่า ฝนตก หรือเท็จสมบูรณ์ มีค่าเท่ากับข้อสรุปว่าฝนตกพอดี ส่วนที่เท็จในทุกโลกไม่ได้เพิ่มทางรอดให้ใคร
คนที่พูดว่าจะกินรองเท้ากำลังใช้ช่องขวาล่าง ด้วยของแทนชิ้นหนึ่ง การกินรองเท้าไม่ใช่เท็จสมบูรณ์จริงๆ ผู้กำกับภาพยนตร์ Werner Herzog เคยกินรองเท้าของตัวเองต่อหน้ากล้องมาแล้ว ในภาพยนตร์สั้นของ Les Blank ปี 1980 คนพูดแค่ใช้มันแทนเท็จสมบูรณ์ คือสิ่งที่ทั้งเขาและคุณถือว่าจะไม่เกิด แล้วประกาศว่าเรื่องนั้นพาไปถึงมัน ท่อในบทที่ 3 ส่งความเท็จย้อนขึ้นได้ ถ้าปลายทางเท็จแน่นอน ต้นทางก็ต้องเท็จ ตรรกะเชิงสร้าง (intuitionistic logic) ใช้ท่านี้เป็นนิยามของคำว่าไม่ ไม่ ก หมายความว่า ก พาไปถึงเท็จสมบูรณ์
กระจกบานแรก
ตารางนี้สมมาตร ถ้าสลับขอบบนกับขอบล่าง และสลับหน้ากับหลังไปพร้อมกัน ทุกช่องจะกลับมาเป็นตารางเดิม แต่ละขอบมีฝั่งหนึ่งที่มันไม่ทำอะไรเลย และอีกฝั่งหนึ่งที่มันทำทุกอย่าง สองขอบไม่ได้ต่างกันที่พลัง มันต่างกันที่ฝั่ง
ความไม่สมมาตรที่ดูเหมือนมีอยู่ ว่าสัจนิรันดร์ไม่มีพิษภัยแต่ข้อขัดแย้งทำลายทุกอย่าง จึงไม่ใช่ความต่างระหว่างสองขอบ มันคือความต่างระหว่างการสมมติกับการสรุป
กระจกบานที่สอง
คำว่าไม่ ทำหน้าที่เป็นกระจกอีกบานหนึ่ง
ใส่คำว่าไม่ไว้หน้าทุกประโยคบนแผนที่ แผนที่ทั้งผืนจะกลับหัว ขอบบนกลายเป็นขอบล่าง ขอบล่างกลายเป็นขอบบน และลูกศรที่บอกว่าอะไรนำไปสู่อะไรกลับทิศทุกเส้น รูปร่างของแผนที่ที่กลับหัวแล้ว เหมือนรูปร่างเดิมทุกประการ
ในฐานะกองของโลก สองขอบต่างกันสุดขั้ว กองหนึ่งมีทุกใบ อีกกองไม่มีสักใบ แต่ถ้ามีคนให้คุณดูแค่รูปร่างของแผนที่ โดยไม่บอกว่าลูกศรชี้ไปทางไหน คุณจะบอกไม่ได้ว่าขอบไหนคือความจริง จากข้างในรูปร่าง สองขอบแยกกันไม่ออก สิ่งที่แยกมันได้อยู่นอกรูปร่าง คือทิศของคำว่าดังนั้น
คนที่วาดกระจกทั้งบาน
กระจกบานนี้มีคนวาดออกมาให้เห็นทั้งบาน
Gerhard Gentzen นักตรรกศาสตร์ชาวเยอรมัน เสนอวิธีเขียนข้อพิสูจน์แบบใหม่ในบทความที่พิมพ์ช่วงปี 1934 ถึง 1935 เขาวางประโยคไว้สองฝั่งของเครื่องหมายตัวเดียว และอ่านว่า ถ้าทุกประโยคฝั่งซ้ายจริง อย่างน้อยหนึ่งประโยคฝั่งขวาจริง ในระบบของเขาสำหรับตรรกะแบบฉบับ กฎของฝั่งซ้ายกับกฎของฝั่งขวาเป็นภาพสะท้อนของกันและกัน ตารางสี่ช่องข้างบนคือเศษเล็กๆ ของความสมมาตรทั้งระบบนั้น
ในบทความเดียวกัน เขาสร้างระบบที่สองด้วยการบังคับให้ฝั่งขวามีได้ไม่เกินหนึ่งประโยค ระบบนั้นคือตรรกะเชิงสร้าง กระจกไม่สมมาตรอีกต่อไป และกฎบางข้อที่ตรรกะแบบฉบับถือว่าไม่รั่ว เช่น ไม่จริงที่ว่า ก ไม่จริง ดังนั้น ก จริง ก็ใช้ไม่ได้ในระบบนั้น
ฝาแฝดคู่นี้ไม่ได้หน้าเหมือนกัน มันเป็นภาพในกระจกของกันและกัน และกระจกบานนั้นคือคำว่า ดังนั้น
จะพลิกคำตัดสินนี้ได้เมื่อ: คุณใช้ตรรกะที่ฝั่งหลังคำว่าดังนั้นถือได้ไม่เกินหนึ่งประโยค อย่างตรรกะเชิงสร้าง ตารางสี่ช่องยังจริงอยู่ แต่ความสมมาตรทั้งระบบที่บทนี้บรรยายหายไป คำตัดสินที่ว่าสองขอบสลับบทกันได้พอดีในทุกกฎ จึงเป็นเรื่องของตรรกะแบบฉบับ ส่วนตารางสี่ช่องและการกลับหัวของแผนที่ คุณตรวจเองได้บนกระดาษด้วยโลกสี่ใบ
แหล่ง:
- Gentzen 1934–35, "Untersuchungen über das logische Schließen", Mathematische Zeitschrift 39: 176–210 และ 405–431 ระบบ LK (ตรรกะแบบฉบับ) และ LJ (ตรรกะเชิงสร้าง ฝั่งขวาไม่เกินหนึ่งประโยค) — https://eudml.org/doc/168546
- von Plato, "The Development of Proof Theory", Stanford Encyclopedia of Philosophy — https://plato.stanford.edu/entries/proof-theory-development/
- Les Blank 1980, Werner Herzog Eats His Shoe ภาพยนตร์สั้น
- ตรรกะเชิงสร้างนิยาม ไม่ ก ว่า ก พาไปถึงเท็จสมบูรณ์ และยังถือว่าเท็จสมบูรณ์พาไปถึงทุกอย่าง ต่างจาก minimal logic ของ Johansson 1937, Compositio Mathematica 4: 119–136 — https://www.numdam.org/item/CM_1937__4__119_0/