3 · ท่อที่ไม่รั่ว
ถ้าคุณเคยได้ยินใครพูดว่า คนเก่งทุกคนตื่นเช้า ฉันตื่นเช้า ฉันจึงเก่ง แล้วรู้สึกว่ามีอะไรไม่ชอบมาพากลทั้งที่ยังชี้ไม่ได้ว่าผิดตรงไหน สิ่งที่หูของคุณจับได้ไม่ใช่เนื้อหา มันคือรูปทรง
จะจับเหตุผลที่รั่ว คุณไม่ต้องรู้ว่าอะไรจริง คุณแค่ต้องแต่งเรื่องเป็น
แต่งเรื่องหนึ่งเรื่องที่ข้อตั้งจริงทุกข้อ แต่ข้อสรุปเท็จ ในโลกที่คนเก่งทุกคนตื่นเช้าจริงๆ ให้มีคนหนึ่งที่ตื่นเช้าทุกวันและไม่เก่งอะไรเลย เรื่องนี้แต่งได้ในสามวินาที และแค่มันแต่งได้ เหตุผลชุดนั้นก็รั่วแล้ว ไม่ว่าคนพูดจะเก่งจริงหรือไม่
เรื่องแต่งคือเครื่องวัด
บทที่ 1 นิยามความสมเหตุสมผลไว้ว่า ถ้าข้อตั้งจริงทั้งหมด ข้อสรุปไม่มีทางเท็จ การแต่งเรื่องคือนิยามเดียวกันในรูปที่ลงมือทำได้ ถ้าแต่งเรื่องค้านได้หนึ่งเรื่อง ทางนั้นรั่ว ถ้าพยายามแล้วแต่งไม่ได้เลย เพราะทุกเรื่องที่แต่งบังคับให้ข้อสรุปจริงตาม ทางนั้นไม่รั่ว
ลองสลับประโยคเดิมเสียใหม่ คนเก่งทุกคนตื่นเช้า คนนี้เก่ง ดังนั้นคนนี้ตื่นเช้า คราวนี้จะแต่งเรื่องค้านอย่างไรก็แต่งไม่ได้ ถ้าคนเก่งทุกคนตื่นเช้า และคนนี้เก่ง เขาก็หนีการตื่นเช้าไม่พ้น คำเดิมทุกคำ สลับที่กันสองคำ คำตัดสินกลับด้านทั้งหมด
เรื่องที่แต่งไม่จำเป็นต้องเกิดขึ้นจริง มันแค่ต้องเป็นไปได้ ความสามารถที่ใช้จับเหตุผลรั่วจึงไม่ใช่ความรู้เรื่องโลก มันคือความสามารถที่จะเห็นว่าโลกอาจเป็นอย่างอื่นได้อย่างไร
ตัวอักษรแทนคำ
เปลี่ยนคำในเหตุผลที่รั่ว มันก็ยังรั่ว
ปลาทุกตัวอยู่ในน้ำ สาหร่ายอยู่ในน้ำ ดังนั้นสาหร่ายเป็นปลา ชุดนี้รั่วด้วยรูเดียวกับชุดคนตื่นเช้า และเรื่องค้านของมันแต่งด้วยวิธีเดียวกัน คือหาของที่อยู่ในกลุ่มที่สองโดยไม่อยู่ในกลุ่มแรก รูไม่ได้อยู่ในคำว่าปลาหรือคำว่าเก่ง มันอยู่ในรูปทรงของการวางคำ
Aristotle เห็นเรื่องนี้เมื่อราวสองพันสามร้อยปีก่อน และทำสิ่งที่ไม่มีใครทำมาก่อน ในหนังสือ Prior Analytics เขาใช้ตัวอักษรกรีกแทนคำ ถ้าเขียนด้วยตัวอักษรไทย มันคือ ถ้า ก เป็นลักษณะของ ข ทุกตัว และ ข เป็นลักษณะของ ค ทุกตัว ก ก็เป็นลักษณะของ ค ทุกตัว ประวัติตรรกศาสตร์ของสารานุกรม Britannica บันทึกว่าเขาเป็นนักตรรกศาสตร์คนแรกที่ใช้ตัวแปร ตัวอักษรเหล่านั้นทำให้เห็นว่าความสมเหตุสมผลไม่สนใจเนื้อหาเลย มันสนใจแค่รูปทรง
รูปทรงที่รั่วบางแบบมีชื่อเรียกในตำรา สองแบบในนี้หน้าตาเหมือนเหตุผลที่ดีมากเป็นพิเศษ
ถ้าฝนตก ถนนเปียก ถนนเปียก ดังนั้นฝนตก รั่ว เพราะแต่งได้ว่ารถน้ำของเทศบาลเพิ่งผ่านไป ชื่อในตำราของรูปนี้คือ affirming the consequent
ถ้าฝนตก ถนนเปียก ฝนไม่ตก ดังนั้นถนนไม่เปียก รั่วด้วยรถคันเดียวกัน รูปนี้ชื่อ denying the antecedent
ส่วนสองรูปที่ไม่รั่ว หน้าตาคล้ายสองรูปข้างบนจนน่าหงุดหงิด
ถ้าฝนตก ถนนเปียก ฝนตก ดังนั้นถนนเปียก ไม่รั่ว รูปนี้ชื่อ modus ponens
ถ้าฝนตก ถนนเปียก ถนนไม่เปียก ดังนั้นฝนไม่ได้ตก ไม่รั่วเช่นกัน และชื่อของมันคือ modus tollens
ท่อส่งของได้สองทิศ
รูปทรงที่ไม่รั่วทำงานเหมือนท่อ
ความจริงที่เทลงไปทางข้อตั้งจะไหลไปถึงข้อสรุปโดยไม่หกระหว่างทาง แต่ท่อไม่ได้กรองอะไร ถ้าเทความเท็จลงไป มันก็ส่งต่อได้เหมือนกัน ชุดเมืองหลวงติดทะเลในบทที่ 1 คือท่อที่ดีซึ่งส่งของเสียมาถึงปลายทางครบถ้วน
ท่อนี้ยังส่งของได้อีกทิศหนึ่ง และทิศนี้สำคัญไม่แพ้ทิศแรก ถ้าทางไม่รั่ว แล้วสิ่งที่ออกมาที่ปลายท่อเป็นเท็จ ต้องมีอะไรสักอย่างที่ต้นท่อเท็จ ความจริงไหลจากข้อตั้งลงไปหาข้อสรุป ความเท็จไหลย้อนจากข้อสรุปขึ้นมาหาข้อตั้ง รูปทรง modus tollens ข้างบนคือการใช้ท่อในทิศย้อนแบบนี้เอง ถนนไม่เปียก จึงย้อนไปบอกได้ว่าฝนไม่ได้ตก
การทดสอบแต่งเรื่องใช้ได้ครบกับประโยคทุกแบบในบทนี้ เพราะนับกรณีได้หมด แต่เมื่อตรรกะต้องพูดถึงความสัมพันธ์ระหว่างสิ่งต่างๆ เช่นใครรักใคร หรืออะไรมากกว่าอะไร ควบคู่ไปกับคำว่าทุกสิ่งและบางสิ่ง Alonzo Church กับ Alan Turing แสดงไว้ในปี 1936 ว่าไม่มีวิธีทำตามขั้นตอนแบบใดที่รับประกันได้เสมอว่าจะตัดสินได้ว่าเรื่องค้านมีอยู่หรือไม่ การแต่งเรื่องยังเป็นนิยามของความสมเหตุสมผลอยู่เหมือนเดิม เพียงแต่บางครั้งไม่มีใครรับประกันได้ว่าจะแต่งเสร็จ
ตรรกะที่ใช้วิธีวัดแบบนี้ และเป็นตรรกะที่เล่มนี้ใช้เป็นหลัก เรียกว่าตรรกะแบบฉบับ (classical logic)
รูปทรงที่ดีคือท่อที่ไม่รั่ว มันส่งต่อทุกอย่างที่คุณเทลงไปโดยไม่ทำหก รวมทั้งของเสีย
จะพลิกคำตัดสินนี้ได้เมื่อ: คุณเปลี่ยนความหมายของคำว่าสมเหตุสมผล ตรรกะบางสาย (relevance logic) เรียกร้องให้ข้อตั้งเกี่ยวข้องกับข้อสรุปด้วย และนับบางรูปทรงที่การแต่งเรื่องค้านไม่มีทางทำลายได้ว่ายังรั่ว ตัวอย่างคือ ฝนตก ดังนั้นแมวเป็นสัตว์หรือไม่ก็ไม่ใช่สัตว์ ในตรรกะแบบฉบับ ทางนี้ไม่รั่ว เพราะไม่มีเรื่องไหนที่ข้อสรุปของมันเท็จ ในตรรกะสายนั้น ฝนไม่เกี่ยวอะไรกับแมว และทางนี้จึงไม่นับ
แหล่ง:
- Britannica, "History of logic: Aristotle" — Aristotle เป็นนักตรรกศาสตร์คนแรกที่ใช้ตัวแปร — https://www.britannica.com/topic/history-of-logic/Aristotle
- Smith, "Aristotle's Logic", Stanford Encyclopedia of Philosophy — การใช้ตัวอักษรกรีกแทนพจน์ใน Prior Analytics — https://plato.stanford.edu/entries/aristotle-logic/
- Internet Encyclopedia of Philosophy, "Validity and Soundness" — https://iep.utm.edu/val-snd/
- Church 1936, "A Note on the Entscheidungsproblem", Journal of Symbolic Logic 1(1): 40–41 และ Turing 1936, "On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem", Proceedings of the London Mathematical Society s2-42: 230–265
- Mares, "Relevance Logic", Stanford Encyclopedia of Philosophy — https://plato.stanford.edu/entries/logic-relevance/