​ตา​ที่สาม · ​นัก​คณิตศาสตร์​ที่​สอน​ให้​บลัฟ​ด้วย​ไพ่​ที่​แย่​ที่สุด

​ไฟ​ติด​หลัง​ตา​ถัดมา ​ฉัน​ตอบคำถาม​ที่​ค้าง​ไว้ ​ลง​เท่า​กองกลาง ​บลัฟ​ได้ 1 ​ครั้ง​ใน​ทุก 3 ​ครั้ง​ที่​ลง ​คิว​ฟัง​จบ​แล้ว​ส่ายหน้า

“​บลัฟ​คือ​โกหก ​เภสัชกร​โกหก​ไม่​ได้ ​ฉลาก​ต้อง​ตรง​กับ​ยา​ใน​ขวด”

​ตั้งแต่​มา​ร่วมวง ​คิว​ไม่​เคย​บลัฟ​สักครั้ง ​ทุกคน​ที่​ดู​รีเพลย์​รู้ดี ​เวลา​คิว​ลง ​เธอ​มี​ไพ่​จริง ​และ​เวลา​เธอ​ลง ​คนอื่น​หมอบ

​บลัฟ​ไม่​ใช่​การโกหก ​มัน​คือ​สัดส่วน

​ฉัน​พูด​ประโยค​นั้น​ได้ ​เพราะ​มี​คน​พิสูจน์​มัน​ไว้​ตั้งแต่​ปี 1944

๏

​ปี 1928 ​นัก​คณิตศาสตร์​ชื่อ John von Neumann ​ตีพิมพ์​ทฤษฎีบท​มินิ​แมกซ์ (minimax) ​ของ​เกม​สอง​คน​ที่​ฝ่าย​หนึ่ง​ได้​เท่ากับ​ที่​อีก​ฝ่าย​เสีย ​ปี 1944 ​เขา​เขียนหนังสือ Theory of Games and Economic Behavior ​ร่วมกับ Oskar Morgenstern ​และ​ใน​หัวข้อ​ที่ 19 ​ของ​หนังสือ​เล่ม​นั้น ​เขา​สร้าง​โป๊กเกอร์​ฉบับ​ย่อ​ขึ้น​มา​เกม​หนึ่ง

​ใน​เกม​นั้น ​ผู้​เล่น​สอง​คน​วางเดิมพัน​ตั้งต้น​คนละ 1 ​แต่ละคน​ได้​ไพ่​ใบ​เดียว​ที่​เป็นตัว​เลข​สุ่ม​ระหว่าง 0 ​ถึง 1 ​เหมือน​สำรับ​ที่​ละเอียด​ไม่​รู้​จบ ​ใคร​เลข​สูง​กว่า​ชนะ ​คน​แรก​เลือก​ได้​สอง​ทาง ​ผ่าน​แล้ว​เปิด​ไพ่​เลย ​หรือ​ลง ​คน​ที่สอง​ที่​เจอ​การลง​ก็​เลือก​ได้​สอง​ทาง ​หมอบ ​หรือ​ตาม

​ถ้า​การลง​มี​ขนาด​เท่า​กองกลาง ​คำตอบ​ที่​ดี​ที่สุด​ของ​คน​แรก​คือ​ลง​ด้วย​ไพ่​ช่วง 2/9 ​ที่​ดี​ที่สุด ​ลง​ด้วย​ไพ่​ช่วง 1/9 ​ที่​แย่​ที่สุด ​และ​ผ่าน​ด้วย​ไพ่ 6/9 ​ที่อยู่​ตรงกลาง ​คน​ที่สอง​ตาม​เมื่อ​ไพ่​ของ​เขา​สูง​กว่า 5/9 ​แล้ว​คน​แรก​จะ​ได้เปรียบ​เฉลี่ย 1/9 ​ของ​เดิมพัน​ตั้งต้น​ทุก​ตา

​ฉัน​อ่าน​ให้​คิว​ฟัง ​บนสุด 22.2222% ​ล่าง​สุด 11.1111%

“​ปัดเศษ​เถอะ”

​ฉัน​ปัด​เป็น 2/9 ​กับ 1/9 ​เศษส่วน​ไม่​มี​เศษเหลือ ​เธอ​ยอมรับ​คำตอบ​นั้น

​ทฤษฎีบท​หนึ่ง​ข้อ ​หนังสือ​หนึ่ง​เล่ม ​และ​นัก​คณิตศาสตร์​สอง​คน ​ทั้งหมด​พา​โป๊กเกอร์​ไป​ถึง​คำแนะนำ​ที่​สั้น​กว่า​ชื่อ​หนังสือ ​ลง​ตอน​ไพ่​แย่​ที่สุด

​ผู้เขียน​สอง​คน​นามสกุล Ferguson ​อธิบาย​แบบจำลอง​นี้​ไว้ ​และ​ใช้​ประโยค​เดียว​ชี้​จุด​นั้น “​ที่​น่าสังเกต​คือ ​ผู้​เล่น​คน​แรก​ต้อง​บลัฟ​ด้วย​ไพ่​ที่​แย่​ที่สุด​ของ​เขา ​ไม่​ใช่​ด้วย​ไพ่​กลางๆ”

​เหตุผล​อยู่​ใน​เลขคณิต​ของ​เกม​เอง ​บลัฟ​ได้ผล​เท่ากัน​ไม่​ว่า​ไพ่​จะ​แย่​แค่​ไหน ​เพราะ​มัน​ชนะ​ได้​ทางเดียว ​คือ​เมื่อ​อีก​ฝ่าย​หมอบ ​การผ่าน​ไม่​ใช่​แบบ​นั้น ​การผ่าน​พา​ไป​เปิด​ไพ่ ​ยิ่ง​ไพ่​แย่ ​ยิ่ง​แพ้​บ่อย

​ไพ่​กลางๆ ​ผ่าน​ไป​แล้ว​ยัง​ชนะ​ได้​บ้าง ​ไพ่​ที่​แย่​ที่สุด​ผ่าน​ไป​ก็​แพ้ ​สำหรับ​ไพ่​กลุ่ม​นั้น ​การลง​จึง​เป็น​ทางเดียว​ที่​เหลืออยู่ ​และ​เส้น​แบ่ง​ของ​สอง​ทาง​อยู่​ที่ 1/9 ​พอดี

๏

6 ​ปี​ต่อมา Harold Kuhn ​เขียน​โป๊กเกอร์​ฉบับ​ที่​เล็ก​ลง​ไป​อีก ​ใช้​ไพ่​แค่​สาม​ใบ J Q ​และ K ​แจก​คนละ​ใบ ​วางเดิมพัน​ตั้งต้น​คนละ 1 ​และ​ลง​ได้​ครั้ง​ละ 1 ​ทั้ง​สำรับ​มี​ไพ่​น้อยกว่า​มือ​ห้า​ใบ​มือ​เดียว ​งาน​ของ​เขา​ตีพิมพ์​ปี 1950 ​ใน​หนังสือ​ชุด​คณิตศาสตร์​ของ​สำนักพิมพ์​มหาวิทยาลัย​พรินซ์​ตัน

​ผล​ของ​มัน​สั้น​กว่า​ตัว​เกม J ​คือ​ไพ่​ที่​แย่​ที่สุด ​และ​เป็น​ไพ่​ที่​ใช้​บลัฟ ​คน​ที่สอง​ที่​ถือ J ​เมื่อ​คน​แรก​ผ่าน​มา ​ควร​บลัฟ​หนึ่ง​ตา​ใน​ทุก​สามตา​แบบ​นั้น ​ถ้า​ถือ Q ​แล้ว​เจอ​การลง ​ควร​ตาม​หนึ่ง​ตา​ใน​ทุก​สามตา​แบบ​นั้น ​และ​ไม่​ว่า​คน​แรก​จะ​เลือก​เล่น​แบบ​ที่​ดี​ที่สุด​แบบ​ไหน ​เขา​เสีย​เฉลี่ย 1/18 ​ของ​เดิมพัน​ตั้งต้น​ต่อตา

​ส่วน​ของ​บลัฟ​ใน​การลง​ทั้งหมด​เป็น​อีก​ตัวเลข​หนึ่ง ​ใน​เกม​ของ von Neumann ​ที่​ลง​เท่า​กองกลาง ​การลง 3 ​ครั้ง​มี​บลัฟ 1 ​ครั้ง ​อีก 2 ​ครั้ง​ลง​ด้วย​ไพ่​ดี ​คือ​ไพ่​ที่​ชนะ​เมื่อ​ถูก​ตาม

​ใน​เกม​ของ Kuhn ​คน​แรก​ลง 1 ​เข้า​กองกลาง 2 ​คือ​ครึ่ง​กอง ​และ​การลง​ของ​เขา​ทุก 4 ​ครั้ง​มี​บลัฟ 1 ​ครั้ง ​ทั้งสอง​ตัว​มาจาก​สูตร​เดียว​กับ​ราคา​ที่​คิว​ใช้​ตาม ♠ ​ของ​เธอ ​ส่วน​ของ​บลัฟ​ใน​การลง​ทั้งหมด ​คือ​ตัวเลข​เดียว​กับ​ราคา​ของ​การตาม

​ตัวเลข​นี้​ไม่​ได้​ถูก​เลือก​มา​ให้​บลัฟ​เยอะ​หรือ​น้อย ​มัน​ถูก​เลือก​ให้​อีก​ฝ่าย​เลือกไม่ได้ ​ที่​สัดส่วน​นี้ ​คน​ที่​ถือ​ไพ่​ซึ่ง​ชนะ​ได้​เฉพาะ​บลัฟ ​จะ​ตาม​หรือ​หมอบ​ก็ได้​ผล​เฉลี่ย​เท่ากัน​พอดี ​เขา​เปลี่ยน​วิธี​เล่น​แล้ว​ไม่​ได้​อะไร​เพิ่ม

​อีก​ฝั่ง​ก็​มี​ตัวเลข​ของ​มัน ​ถ้า​คน​ที่​เจอ​การลง​เท่า​กองกลาง​ไป​ต่อ​อย่าง​น้อย​ครึ่งหนึ่ง​ของ​ไพ่​ที่​เขา​อาจ​มี ​บลัฟ​ล้วนๆ ​ของ​อีก​ฝ่าย​ก็​ไม่​ได้​กำไร​เอง​อีกต่อไป ​ตัวเลข​นี้​ชื่อ​สัดส่วน​ป้องกัน​ขั้นต่ำ (minimum defence frequency) ​คิด​จาก​กองกลาง ​หาร​ด้วย​กองกลาง​บวก​การลง

​ถ้า​ที่ river ​คน​ลง​มี​แต่​ไพ่​ที่​ชนะ​แน่​กับ​ไพ่​ที่​ไม่​มีทาง​ชนะ ​และ​คน​ตามมี​แต่​ไพ่​ที่​ชนะ​ได้​เฉพาะ​บลัฟ ​สอง​ตัวเลข​นี้​คือ​จุด​ที่​ไม่​มี​ใคร​เปลี่ยน​วิธี​เล่น​ฝ่าย​เดียว​แล้ว​ได้ดี​ขึ้น ​จุด​แบบ​นั้น​เรียก​ว่า​ดุลยภาพแนช (Nash equilibrium)

​เกม​ของ von Neumann ​ไม่​ได้​มี​แค่​ไพ่​สอง​แบบ​นั้น ​ไพ่​กลางๆ ​ที่​ผ่าน​ไป​ยัง​ชนะ​ได้​บ้าง​ตอน​เปิด​ไพ่ ​ตัวเลข​ฝั่ง​คน​ตาม​ใน​เกม​นั้น​จึง​ต่าง​ไป ​คน​ที่สอง​ตาม​แค่ 4/9 ​ของ​ไพ่​ที่​เขา​อาจ​มี ​ไม่​ถึง​ครึ่ง ​ส่วน​บลัฟ​ยัง​เป็น 1 ​ใน 3 ​ของ​การลง​เท่าเดิม

​แต่​ทั้งสอง​เกม​บอก​เรื่อง​เดียวกัน ​ที่​จุด​ดุลยภาพ ​ฝ่าย​ไหน​เปลี่ยน​วิธี​เล่น​ฝ่าย​เดียว​ก็​ไม่​ได้​อะไร​เพิ่ม ​และ​เพราะ​อย่างนั้น ​สัดส่วน​นี้​จึง​เอาเปรียบ​ได้​ยาก

๏

​คืน​นั้น​ฉัน​คำนวณ​สัดส่วน​บลัฟ​ที่​สมบูรณ์​ของ​ทุก​ขนาด​การลง ​ตั้งแต่ 1/4 ​ของกอง​กลาง​จนถึง 2 ​เท่า ​ครบ​ทุก​แถว ​ถึง​ทศนิยม​ตำแหน่ง​ที่สี่ ​แล้ว​ฉัน​ก็​แจก​ตา​ต่อไป ​ซึ่ง​เป็นงาน​เดียว​ที่​ฉัน​ทำได้ ​ฉัน​ไม่​มี​ชิป ​ไม่​มี​ไพ่​ใน​มือ ​และ​ไม่​มี​ใคร​ให้​บลัฟ

​คิว​เขียน​ลง​กระดาษเช็ดปาก​ด้วย​ปากกา​ที่​เธอ​ใช้​เขียน​ฉลากยา ​ลง​เท่า​กองกลาง ​ไพ่​ดี 2 ​บลัฟ 1 ​ใช้​ไพ่​ที่​แย่​ที่สุด

​สาม​ทุ่ม​ครึ่ง ​เธอ​ลง​เท่า​กองกลาง​ที่ river ​ด้วย 72o ​ต้น​หมอบ ​คิว​ไม่​ได้​ยิ้ม ​เธอ​บอก​ว่า​มัน​ไม่​ใช่​การโกหก ​มัน​คือ 1 ​ใน 3

​คน​ที่​ใช้​สัดส่วน​แบบนี้​ไม่​ได้​ตัดสินใจ​ทีละ​ไพ่ ​เขา​ตัดสินใจ​ล่วงหน้า​ทีเดียว​สำหรับ​ไพ่​ทุก​ใบ​ที่​อาจ​ได้ ​ตั้งแต่ 0 ​ถึง 1 ​ไพ่​ที่​ได้​จริง​แค่​บอก​ว่า​เขา​ยืน​อยู่​แถว​ไหน​ของ​แผน

​หลัง​ร้าน​ปิด ​ฉัน​เปิด​บันทึก​คะแนน​การตัดสินใจ​ของ​ทุกคน​ที่​โต๊ะ​กลาง 412 ​บรรทัด ​ทุก​บรรทัด​ตัดสิน​จาก​ไพ่​มือ​เดียว ​คือ​มือ​ที่​ออกมา​จริง