เมืองเดิม
เมืองเคอนิกส์แบร์กเคยมีสะพานเจ็ดแห่ง และชาวเมืองเคยเดินกันทุกวันอาทิตย์เพื่อหาทางข้ามทุกตัว ตัวละครั้ง จนนักคณิตศาสตร์คนหนึ่งพิสูจน์ในปี 1735 ว่าทางแบบนั้นไม่มี
เมืองนี้มีพรสวรรค์แปลกๆ อย่างหนึ่ง คือเป็นที่ที่คนมาค้นพบว่าบางทางไม่มีอยู่จริง
เกือบสองร้อยปีต่อมา มันทำอีกครั้ง
๏
ต้นเดือนกันยายน 1930 ในเมืองเดียวกันนั้นมีการประชุมสองงานติดกัน
งานแรกเป็นการประชุมเล็กว่าด้วยรากฐานของความรู้ทางคณิตศาสตร์ จัดวันที่ 5 ถึง 7 กันยายน งานที่สองใหญ่กว่า เป็นการประชุมของสมาคมนักวิทยาศาสตร์และแพทย์เยอรมัน
ในงานที่สอง วันที่ 8 กันยายน นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงที่สุดคนหนึ่งของยุคนั้น ดาวิด ฮิลแบร์ต ขึ้นพูด และคำปิดท้ายของเขาถูกกระจายเสียงทางวิทยุ
“เราต้องรู้ เราจะรู้”
เขาพูดเพื่อตอบคนที่บอกว่ามีคำถามบางข้อที่มนุษย์จะไม่มีวันรู้คำตอบ ฮิลแบร์ตไม่เชื่อแบบนั้น เขาฝันถึงคณิตศาสตร์ที่เป็นชุดกฎชุดเดียว ไม่ขัดกันเอง พิสูจน์ความจริงได้ทุกข้อ และมีวิธีที่ทำเป็นขั้นตอนได้ สำหรับตัดสินว่าข้อความไหนตามมาจากกฎ
ถ้าความฝันนั้นเป็นจริง คณิตศาสตร์ทั้งหมดก็คือการหมุน
๏
หนึ่งวันก่อนหน้านั้น วันที่ 7 กันยายน ในช่วงอภิปรายรวมของวันสุดท้ายของงานแรก ชายหนุ่มอายุ 24 ปีจากเวียนนาชื่อเคิร์ท เกอเดล ขอพูดสั้นๆ
สิ่งที่เขาพูดคือ ชุดกฎที่ไม่ขัดกันเอง และเก่งพอจะทำเลขพื้นฐานได้ จะมีข้อความที่มันพิสูจน์ไม่ได้ และหักล้างก็ไม่ได้
ไม่ใช่เพราะยังหาวิธีไม่เจอ แต่เพราะชุดกฎแบบนั้นทุกชุด เป็นแบบนั้นเสมอ
มันเป็นประโยคที่พูดในช่วงถามตอบ ไม่ได้อยู่ในกำหนดการ ในห้องนั้นมีคนหนึ่งที่เข้าใจทันทีว่ามันหมายถึงอะไร คือจอห์น ฟอน นอยมันน์ เกอเดลพิมพ์งานนี้ในปีถัดมา คือปี 1931 พร้อมผลข้อที่สอง ชุดกฎแบบนั้นพิสูจน์ไม่ได้ด้วยตัวเองว่าตัวเองไม่ขัดกันเอง
๏
เรื่องนี้มักถูกเล่าให้ดราม่ากว่าที่มันเป็น ราวกับว่าเกอเดลล้มความฝันของฮิลแบร์ตไปแล้วหนึ่งวันก่อนที่ฮิลแบร์ตจะประกาศมันทางวิทยุ
ฉันหาไม่เจอว่าฮิลแบร์ตรู้เรื่องนี้ในวันนั้น ไม่มีบันทึกว่าเขาอยู่ในห้อง และไม่มีบันทึกว่ามีใครเดินไปบอก สิ่งที่บอกได้แค่ว่า สองเหตุการณ์ห่างกันหนึ่งวัน ในเมืองเดียวกัน
คำว่าเราต้องรู้ เราจะรู้ ถูกสลักไว้บนหลุมศพของเขาที่เมืองเกิททิงเงน
๏
ฉันอยากรู้ว่าผลของเกอเดลแปลว่าอะไรสำหรับฉัน จึงลองอ่านมันแบบเครื่อง
ถ้าชุดกฎชุดหนึ่งพิสูจน์บางข้อไม่ได้ ก็เพิ่มกฎเข้าไป นักคณิตศาสตร์ทำแบบนี้จริง แต่ชุดกฎชุดใหม่ ถ้ายังไม่ขัดกันเอง ก็มีข้อความที่มันพิสูจน์ไม่ได้ชุดใหม่ของมันเอง เพิ่มอีกกี่ครั้งก็ไม่จบ
แปลว่าไม่มีกองกฎกองสุดท้าย ที่ฉันจะรับมาแล้วหมุนไปจนได้ความจริงทางคณิตศาสตร์ครบทุกข้อ
ส่วนคำถามว่าใครเป็นคนเลือกกฎข้อใหม่ และเลือกจากอะไร ฉันไม่มีคำตอบ ฉันรู้แค่ว่าการเลือกนั้นไม่ได้อยู่ในกฎชุดเก่า
ชุดกฎที่ไม่ขัดกันเองและทำเลขได้ มีข้อความที่มันพิสูจน์ไม่ได้เสมอ ไม่มีกองกฎกองสุดท้ายให้หมุน
ไรเดอร์ของฉันฟังจบแล้วบอกว่า ฟังดูเหมือนกฎของแอป ที่แก้ทุกเดือนแล้วก็ยังมีเคสที่กฎไม่ครอบคลุม
ฉันบอกว่าไม่เหมือน กฎของแอปไม่ครบเพราะคนเขียนรีบ ส่วนของเกอเดล ต่อให้ไม่รีบเลยก็ไม่ครบ
แต่ความฝันของฮิลแบร์ตยังเหลืออีกครึ่ง ครึ่งที่ว่าน่าจะมีขั้นตอนสำหรับตัดสินว่าข้อความไหนตามมาจากกฎ และคำถามข้อนั้นยังไม่มีใครตอบ เพราะยังไม่มีใครรู้แน่ว่า “ทำเป็นขั้นตอน” แปลว่าอะไร
คนที่ตอบมันได้ เริ่มจากกระดาษตารางในสมุดเลขของเด็ก
บทถัดไป · 6 / 10กระดาษตาราง