03. หน่วยและฐาน — ยุติข้อถกเถียง
ข้ออ้างที่หนักแน่นเกินไป
คำกล่าวที่ตำราเรียนและแชทบอทพูดซ้ำกัน — ว่าความยาวแม่น้ำเป็นไปตามกฎของ Benford ในทุกหน่วยและทุกฐาน — เป็นเท็จในแบบที่มักพูดกัน ข้อคัดค้านมาทันทีและถูกต้อง: แปลงกิโลเมตรเป็นฟุตคือคูณทุกตัวเลขด้วย 3280.84 ตัวเลขจึงต้องขยับ สิ่งที่ Roger Pinkham พิสูจน์ในปี 1961 ชี้ไปอีกทาง: ถ้ากฎของตัวเลขจะเป็นอิสระจากหน่วยวัด กฎนั้นต้องเป็นกฎของ Benford และไม่มีกฎอื่นใดมีคุณสมบัตินี้ นั่นคือเงื่อนไขว่าด้วยตัวกฎ ไม่ใช่คำมั่นว่าด้วยชุดข้อมูล และความต่างข้อนี้คือความสับสนทั้งก้อน กฎของ Benford เป็นอิสระจากหน่วยวัด กองตัวเลขไม่เป็น เว้นแต่มันบังเอิญเป็นไปตามกฎของ Benford อยู่แล้ว
สิ่งที่การทดลองแสดงให้เห็น
รันการทดสอบกับข้อมูลจริงแล้วเรื่องจบ และหนังสือเล่มนี้แนบสคริปต์มาด้วย จำนวน Fibonacci 300 ลำดับแรกกินช่วง 62.35 อันดับความใหญ่ และเข้ากับกฎของ Benford อย่างใกล้ชิดภายใต้ตัวคูณทุกตัวที่ทดสอบ รวมถึงในฐาน 8 และฐาน 16 โดยค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์เฉลี่ย (MAD) อยู่ระหว่าง 0.0023 ถึง 0.0040 นั่นคือความไม่แปรผันตามมาตราส่วน: หน่วยเปลี่ยน คำตอบไม่เปลี่ยน แม่น้ำที่ยาวที่สุด 132 สายกินช่วงเพียง 0.84 อันดับความใหญ่ เพราะรายการแบบนี้มีพื้นล่างฝังอยู่ในตัว และแม่น้ำเหล่านี้ตกกฎของ Benford ในทุกหน่วยที่ทดสอบ ตัวเลขของมันขยับด้วย: 65.2 เปอร์เซ็นต์นำด้วยเลข 1 ในหน่วยกิโลเมตร 37.1 เปอร์เซ็นต์นำด้วยเลข 3 ในหน่วยฟุต 31.1 เปอร์เซ็นต์นำด้วยเลข 5 ในหน่วยเฟอร์ลอง ความสูงเฉลี่ยของผู้ใหญ่ใน 195 ประเทศกินช่วง 0.06 อันดับความใหญ่ นำด้วยเลข 1 ใน 100 เปอร์เซ็นต์ของประเทศเมื่อวัดเป็นเมตร และนำด้วยเลข 5 ใน 99.0 เปอร์เซ็นต์เมื่อวัดเป็นฟุต
เหตุใดหน่วยวัดจึงหมุนวงกลม
เก็บไว้แค่ส่วนเศษของลอการิทึมฐานสิบของตัวเลข ตัวเลขทุกตัวก็กลายเป็นจุดบนวงกลมที่มีเส้นรอบวงเท่ากับหนึ่ง คูณทุกอย่างด้วยค่าคงที่ตัวหนึ่ง เท่ากับบวกลอการิทึมของค่าคงที่นั้นเข้าไปในทุกจุด วงกลมหมุนไป และไม่มีอะไรอื่นเปลี่ยน กฎของ Benford คือคำกล่าวตรงตัวว่าจุดเหล่านั้นกระจายสม่ำเสมอ และการแจกแจงแบบสม่ำเสมอเป็นแบบเดียวที่การหมุนทิ้งไว้เหมือนเดิม คำถามจึงไม่เคยเป็นว่าหน่วยไหน แต่เป็นว่าข้อมูลกระจายบนสเกลลอการิทึมสม่ำเสมอแค่ไหน: Fibonacci ห่างจากสม่ำเสมอ 0.0106 แม่น้ำ 0.3764 ความสูง 0.7357 และตารางตัวเลขตามเลขสามตัวนั้นทุกประการ
ตัวอย่าง: หมุนแหวนเกลี้ยง มันยังเหมือนเดิม หมุนแหวนที่ฝังเพชรหนึ่งเม็ด เพชรเลื่อนเข้ามาให้เห็น มีแต่แหวนที่ไม่มีจุดเด่นเท่านั้นที่รอดจากการหมุน
คำตัดสิน. กฎของ Benford ไม่แปรผันตามหน่วยวัด ชุดข้อมูลแปรผัน และชุดข้อมูลจะเป็นไปตามกฎของ Benford ในทุกหน่วยวัดก็ต่อเมื่อมันเป็นไปตามกฎของ Benford อยู่แล้วในหน่วยวัดหนึ่ง
จะพลิกคำตัดสินได้เมื่อ: ชุดข้อมูลที่ห่างไกลจากความสม่ำเสมอบนวงกลมแมนทิสซาลอการิทึมยังคงความถี่ของเลขนำไว้เท่าเดิมเมื่อเปลี่ยนหน่วยวัด และนั่นจะทำลายผลลัพธ์ความเป็นหนึ่งเดียวของ Pinkham
แหล่งอ้างอิง. 1961 · Roger S. Pinkham, "On the Distribution of First Significant Digits," Annals of Mathematical Statistics 32(4) — JSTOR · 1995 · Theodore P. Hill, "Base-Invariance Implies Benford's Law," Proceedings of the AMS 123(3) — AMS · 2026 · AICE, "The units experiment" — source/experiment.py
บทถัดไป · 4 / 1204. เมื่อกฎนี้ใช้ไม่ได้ผล