01. ​หน้า​หนังสือ​ที่​สึกกร่อน — ​หนังสือ​ใน​ห้องสมุด​เปิดเผย​ความลับ​ได้​อย่างไร

​นัก​ดาราศาสตร์​และ​ตาราง​ลอการิทึม

​เลข​นำ​ของ​ตัวเลข​ไม่​ได้​แจกแจง​เท่ากัน ​และ​หลักฐาน​ชิ้น​แรก​คือ​กระดาษ​ที่​สึก ​ใน​ปี 1881 ​ไซ​มอน ​นิว​คอมบ์ ​นัก​ดาราศาสตร์​และ​นัก​คณิตศาสตร์​ชาว​อเมริกัน ​เปิด​ตาราง​ลอการิทึม​ใน​ห้องสมุด​แล้ว​พบ​ว่า​หน้า​ต้น​เล่ม​สึก​และ​ขาดวิ่น​กว่า​หน้า​ท้าย​เล่ม​อย่าง​เห็นได้ชัด ​รอย​สึก​นั้น​บอก​ความจริง​ทาง​คณิตศาสตร์​ข้อ​หนึ่ง ​เลขโดด​ทั้ง​สิบ​ตัว​ไม่​ได้​เป็น​เลข​นำ​ของ​ตัวเลข​ด้วย​ความถี่​เท่ากัน ​ใน​ตัวเลข​ตาม​ธรรมชาติ ​เลข 1 ​เป็น​เลข​สำคัญ​หลัก​แรก​บ่อย​กว่า​เลข 9 ​มาก ​นิว​คอมบ์​ตีพิมพ์​ข้อสังเกต​นี้​ใน American Journal of Mathematics ​และ​เสนอ​ว่า​แมนทิส​ซา​ของ​ลอการิทึม​แจกแจง​ด้วย​ความน่าจะเป็น​เท่ากัน ​แล้ว​เรื่อง​ก็​เงียบ​ไป 57 ​ปี ​ข้อสังเกต​นี้​อยู่​ใน​งานเขียน​ใน​ฐานะ​ปรากฏการณ์​ที่​เห็นได้ชัด ​แต่​ไม่​มี​ใคร​อธิบาย​และ​ไม่​มี​ใคร​ตรวจสอบ

​นักฟิสิกส์​และ​กฎ​ของ​ตัวเลข​ผิดปกติ

​หลักฐาน​เชิงประจักษ์​มา​ใน​ปี 1938 ​จาก​แฟรงก์ ​เบน​ฟอร์ด ​นักฟิสิกส์​ที่ GE Research Laboratory ​ใน​เมืองส​เกเน็ก​เทอ​ดี ​รัฐ​นิวยอร์ก ​และ​มัน​ทำให้​ข้อสังเกต​ของ​นิว​คอมบ์​หนักแน่น​ขึ้น ​เบน​ฟอร์ด​นับ​เลข​นำ 20,229 ​ค่า ​จาก​ชุด​ข้อมูล​ที่​ไม่​เกี่ยว​กัน 20 ​ชุด ​ทั้ง​พื้นที่​ลุ่มน้ำ ​จำนวน​ประชากร ​ค่าคงที่​ทาง​ฟิสิกส์ ​และ​แม้แต่​บ้าน​เลขที่​ตาม​ท้องถนน ​ผล​ที่วัด​ได้​เดินตาม​กฎ​ลอการิทึม ​เริ่ม​ที่ 30.6% ​สำหรับ​เลข 1 ​แล้ว​ลดลง​จน​เหลือ 4.7% ​สำหรับ​เลข 9 ​ค่าที่​กฎ​ทำนาย​ไว้​ไล่​จาก 30.1% ​สำหรับ​เลข 1 ​ลง​ไป​ถึง 4.6% ​สำหรับ​เลข 9 ​ตัวเลข​ที่วัด​ได้​ตาม​ค่า​ทำนาย​นี้​อย่าง​ใกล้ชิด ​ทุกคน​ที่​พบ​การแจกแจง​นี้​ครั้งแรก​จะ​แปลกใจ ​เพราะ​สัญชาตญาณ​ของ​มนุษย์​บอก​ผิดๆ ​ว่า​ตัวเลข​แต่ละ​ตัว​ควร​ปรากฏ​ด้วย​ความถี่​เท่ากัน ​งาน​ของ​เบน​ฟอร์ด​ครอบคลุม​พอที่จะ​เปลี่ยน​ข้อสังเกต​ที่​ไม่​มี​ใคร​สนใจ​ให้​เป็น​กฎ​ที่​ได้รับ​การยอมรับ ​พร้อม​ความถี่​จำเพาะ​ของ​ตัวเลข​ทุก​ตัวตั้ง​แต่ 1 ​ถึง 9

​ประเด็น​เรื่อง​การอนุพันธ์​เชิงทฤษฎี

​ตัวเลข 20,229 ​ค่าที่​เบน​ฟอร์ด​รวบรวม​ไว้​ไม่​มี​ใคร​โต้แย้ง ​และ​ยังคง​เป็นมาตร​ฐาน​ของ​สาขา​การวิเคราะห์​ทาง​สถิติ ​สิ่ง​ที่​ไม่​รอด​คือ​คำอธิบาย​ของ​เขา​เอง ​เบน​ฟอร์ด​อนุพันธ์​กฎ​นี้​จาก​การให้เหตุผล​ด้วย​อนุกรม​เรขาคณิต ​และ​งาน​ที่​เข้มงวด​กว่า​เข้ามา​แทนที่​ใน​เวลา​ต่อมา ​รากฐาน​ทางทฤษฎี​ที่​เขา​เสนอ​ถูก​แทนที่​ด้วย​บทพิสูจน์​ทาง​คณิตศาสตร์​ของ​พิงค์​แฮม​ใน​ปี 1961 ​และ​ฮิลล์​ใน​ปี 1995

​ตัวอย่าง: ​คาด​ว่า​ตัวเลข​ทุก​ตัว​จะ​ปรากฏ​ด้วย​ความถี่​เท่ากัน ​ก็​เหมือน​ทึกทัก​ว่า​ชั้น​หนังสือ​ทุก​ชั้นใน​ห้องสมุด​มี​หนังสือ​จำนวน​เท่ากัน ​ไม่​ว่า​ชั้น​นั้น​จะ​อยู่​ตรงไหน

​คำตัดสิน. ​เลข​นำ​ของ​ตัวเลข​ใน​ชุด​ข้อมูล​ตาม​ธรรมชาติ​แจกแจง​ไม่​สม่ำเสมอ ​เลข 1 ​ปรากฏ​บ่อย​กว่า​เลข 9 ​อย่าง​มีนัย​สำคัญ

​จะ​พลิก​คำตัดสิน​ได้​เมื่อ: ​ทำซ้ำ​ข้อมูล​ทั้ง 20,229 ​ค่า​อย่าง​ครอบคลุม​ใน​ชุด​ข้อมูล​ที่​หลากหลาย ​แล้ว​ไม่​พบ​การลดลง​เชิง​ลอการิทึม​จาก 30.1% ​ไป​สู่ 4.6%

​แหล่ง​อ้างอิง. 1881 · Simon Newcomb, "Note on the Frequency of Use of the Different Digits in Natural Numbers" — PDF · 1938 · Frank Benford, "The Law of Anomalous Numbers" — PDF