นิรนัยบริสุทธิ์
ปริศนานิรนัยไม่ซ่อนอะไรเลย ข้อเท็จจริงทุกข้อที่คุณต้องใช้ถูกวางบนโต๊ะตั้งแต่ประโยคแรก ไม่มีกรอบกลให้ทลาย ไม่มีการเล่นคำให้จับ ความยากทั้งหมดคือวินัย: ถือโครงข่ายข้อจำกัดไว้ในความจำใช้งาน รีดข้อเท็จจริงแต่ละข้อให้เกลี้ยงก่อนแตะข้อถัดไป และ — เหนืออื่นใด — ไม่มีวันสับสนระหว่างสิ่งที่คุณ*รู้*กับสิ่งที่คุณเพียง*สมมุติ* การเดาก่อนที่ตาเดินบังคับจะถูกใช้จนหมดคือบาปมหันต์ของบทนี้ และแทบทุกคนก่อบาปนี้
คุณได้ลองญาติของนิรนัยไปแล้วครั้งหนึ่งในเล่มนี้: หมาป่า แพะ และกะหล่ำปลีในบทที่ 1 คือการวางแผนบนปริภูมิสถานะ — การไล่แผนที่ตาเดินที่ถูกกติกาผ่านเขาวงกตของข้อจำกัด บทนี้เลี้ยวจากการวางแผนสู่การอนุมาน เนื้อหาไต่บันไดอย่างจงใจ: เริ่มจากคนโกหกกับคนพูดจริง (อะตอมของการแยกกรณี) ตามด้วยความผิดในฐานะข้อมูล แล้วตารางใหญ่ของปริศนาม้าลาย ต่อด้วยปริศนาที่ข้อมูลคือความไม่รู้ของคนอื่น และปิดท้ายด้วยนิรนัยแข่งกับนาฬิกา
สัญญาหนึ่งข้อก่อนเริ่ม เฉลยแต่ละข้อข้างล่างสอนเส้นทาง — รวมถึงทางเลี้ยวผิดที่นักแก้หัวดีเลี้ยวกันจริงๆ — เพราะในนิรนัย วิธีคือรางวัลทั้งหมด ส่วนตัวคำตอบเองนั้นไร้ประโยชน์อย่างลือชื่อ: ไม่มีใครจำเป็นต้องรู้ว่าใครเลี้ยงม้าลาย
เครื่องจักรความจริง
Raymond Smullyan สร้างการศึกษาตรรกะทั้งหลักสูตร (What Is the Name of This Book?, 1978) บนเกาะเดียว: อัศวินพูดจริงเสมอ คนลวงโกหกเสมอ ฉากฟังดูเหมือนเรื่องตลก แท้จริงมันคือห้องทดลองที่ทุกถ้อยคำกลายเป็นสมการ
★ 2 · อัศวินกับคนลวง: "เราเป็นคนลวงทั้งคู่"
โจทย์. บนเกาะแห่งหนึ่ง อัศวินพูดจริงเสมอ คนลวงโกหกเสมอ A พูดว่า: "เราเป็นคนลวงทั้งคู่" A กับ B เป็นอะไร?
หยุดตรงนี้ก่อน หน้ากระดาษรอได้เสมอ
เฉลย. ไล่สองกรณีที่มีอยู่ สมมุติ A เป็นอัศวิน: คำพูดของเขาจึงจริง แปลว่าทั้งคู่เป็นคนลวง — รวมทั้งตัว A เอง ขัดแย้ง; อัศวินไม่โกหก ดังนั้น A เป็นคนลวง และคำพูดของเขาจึงต้องเท็จ: พวกเขา*ไม่ได้*เป็นคนลวงทั้งคู่ ในเมื่อ A เป็นอยู่แล้วหนึ่งคน B จึงต้องเป็นอัศวิน A = คนลวง, B = อัศวิน
ละเลียดรายละเอียดเม็ดเล็กนี้ให้ดี เพราะมันหลอกคนไปได้อีกหลายปี: คนลวง*พูดได้*ว่า "เราเป็นคนลวงทั้งคู่" — ก็เพราะประโยคนั้นออกมาเป็นเท็จพอดี เขาโกหกเรื่องคู่ของเขา อย่างซื่อตรงต่อธรรมชาติของตัวเอง ประเด็นไม่ใช่ว่าคนลวง*ไม่มีวันพูด*อะไร แต่คืออะไรที่ต้องเป็นเท็จเมื่อเขาพูดมันออกมา
ท่า — สมมุติ แล้วหักมัน. ตั้งสมมุติฐานทีละกรณี แล้วปล่อยให้ความขัดแย้งในตัวเองเป็นผู้คัดออก นี่คืออะตอมของนิรนัยเชิงตรรกะทั้งมวล — การพิสูจน์โดยข้อขัดแย้งในขนาดเล็กที่สุดที่พกติดตัวได้
★★ 4 · ทางแยก
โจทย์. ทางแยกหนึ่ง: สายหนึ่งไปสู่อิสรภาพ อีกสายไปสู่หายนะ ยามสองคน คนหนึ่งโกหกเสมอ อีกคนพูดจริงเสมอ — คุณไม่รู้ว่าใครเป็นใคร ถามได้หนึ่งคำถาม กับยามหนึ่งคน คุณจะถามว่าอะไร?
หยุดแล้วลองประกอบคำถามด้วยตัวเอง มันประกอบขึ้นได้จริง
เฉลย. จุดเริ่มพลาด: ถามเชิงข้อเท็จจริง ("ทางไหนไปอิสรภาพ?") แล้วคุณจะไม่ได้อะไรเลย เพราะคุณสอบเทียบคำตอบไม่ได้หากไม่รู้ว่าใครเป็นผู้พูด การปิ๊งอยู่ตรงที่คุณไม่จำเป็นต้องระบุตัวคนโกหก — คุณต้อง*ส่งคำถามให้วิ่งผ่านยามทั้งสองคนพร้อมกัน* ถามยามคนใดก็ได้: "ถ้าฉันถามยามอีกคนว่าทางไหนไปสู่อิสรภาพ เขาจะชี้ทางไหน?" — แล้วเดินทาง*ตรงข้าม* ตรวจทั้งสองกรณี: คนพูดจริงรายงานคำโกหกของคนโกหกอย่างซื่อตรง; คนโกหกโกหกเรื่องความจริงของคนพูดจริง ไม่ว่าทางไหน คำตอบวิ่งผ่านคำโกหกหนึ่งครั้งพอดี ยามทั้งคู่จึงชี้ผิด — อย่างวางใจได้
วาเรียนต์ยามคนเดียวฉบับกะทัดรัดของ Smullyan ทำแบบเดียวกันด้วยเครื่องจักรทางตรรกะ: "คุณเป็นอัศวิน*ก็ต่อเมื่อ*ทางนี้ไปสู่อิสรภาพ ใช่หรือไม่?" เงื่อนไขสองทาง (biconditional) ก็บังคับให้คำโกหกหักล้างตัวเองเช่นกัน
ท่า — พับคำโกหกทบตัวมันเอง. คุณลบความบิดเบือนที่ไม่รู้จักออกไม่ได้ แต่คุณส่งสัญญาณให้วิ่งผ่านมันสองรอบ — หรือจับมันประกบกับตัวเอง — ให้มันหักล้างกันเองได้ วิทยาศาสตร์เชิงทดลองทำสิ่งเดียวกันและเรียกมันว่าการวัดเชิงผลต่าง (differential measurement) (ที่มาสำหรับผู้ใคร่รู้: เรื่องเล่าพื้นบ้าน โดยมีญาติเชิงทางการยุคแรกในโน้ตปี 1931 ของ Nelson Goodman; แพร่หลายโดย Smullyan และสำหรับเด็กทั้งรุ่นหนึ่ง โดยภาพยนตร์ Labyrinth, 1986)
★★ 3 · กล่องติดป้ายผิดสามใบ
โจทย์. กล่องสามใบ: ใบหนึ่งบรรจุแอปเปิลล้วน ใบหนึ่งส้มล้วน ใบหนึ่งปนกัน ป้ายเขียนว่า APPLES, ORANGES, MIXED — และทุกป้ายติดผิดหมด จงหยิบผลไม้ให้น้อยครั้งที่สุด (ห้ามแอบมอง) แล้วติดป้ายทั้งสามใบใหม่ให้ถูกต้อง ต้องหยิบกี่ครั้ง?
หนึ่งลูก? สองลูก? คิดให้จบก่อนอ่านต่อ
เฉลย. หยิบครั้งเดียวก็พอ — แต่ต้องหยิบจากกล่องที่ถูกต้อง: ใบที่ติดป้าย MIXED ป้ายของมันผิด กล่องใบนั้นจึงเป็นกล่องล้วน หยิบหนึ่งลูก; สมมุติว่าได้แอปเปิล กล่องป้าย MIXED จึงเป็นกล่องแอปเปิล ต่อด้วยลูกโซ่บังคับ: กล่องป้าย ORANGES บรรจุส้มไม่ได้ (ป้ายผิด) และบรรจุแอปเปิลก็ไม่ได้ (ถูกจองไปแล้ว) — มันจึงเป็นกล่องปน กล่องป้าย APPLES รับสิ่งที่เหลือ: ส้ม สมมาตรกันหากหยิบได้ส้ม
จุดเริ่มพลาดที่ให้บทเรียนคือหยิบจากกล่องป้าย APPLES ป้ายผิดแปลว่าข้างในเป็นส้ม*หรือ*ปน — หยิบลูกเดียวอาจตัดสินไม่ได้ว่าเป็นแบบไหน แล้วนิรนัยก็จอด ตาเดินที่ดูให้ข้อมูลน้อยที่สุด — สุ่มจากกล่อง "ปน" — กลับให้ข้อมูลมากที่สุด เพราะความผิดของป้ายใบนั้น*สมบูรณ์เบ็ดเสร็จ*: มันตรึงกล่องให้เหลือแค่สองความเป็นไปได้พอดี และผลไม้ลูกเดียวก็ผ่าสองทางนั้นออกจากกัน
ท่า — ความผิดล้วนคือข้อมูล. "ทุกป้ายผิด" ไม่ใช่ความโกลาหล มันคือข้อจำกัดชั้นดี ความผิดที่การันตีได้ให้ข้อมูลเท่ากับความจริงที่การันตีได้เป๊ะๆ (ของพื้นบ้านประจำศตวรรษที่ 20 ขวัญใจหนังสือรวมยุค Gardner และห้องสัมภาษณ์สายเทค — และแอบเป็นบทเรียนว่าควรใช้การวัดครั้งแรกของคุณที่ตรงไหน)
ตารางใหญ่
คราวนี้ถึงตาวงออร์เคสตราเต็มวง ตารางตรรกะ (logic grid) ขอให้คุณถือหมวดหมู่ห้าหมวดที่เกี่ยวร้อยกันไว้ในหัวพร้อมกัน และมันลงโทษทุกรอยรั่ว ต่อไปนี้คือตัวอย่างที่โด่งดังที่สุด — เฉลยจนจบครบทุกขั้น เพราะการไล่เฉลยนี้*คือ*หลักสูตร
★★★ 5 · ปริศนาม้าลาย ("ปริศนาของ Einstein")
โจทย์. บ้านห้าหลังเรียงแถว แต่ละหลังมีสี สัญชาติ เครื่องดื่ม ยี่ห้อบุหรี่ และสัตว์เลี้ยงที่ไม่ซ้ำกันเลย รายการเงื่อนงำฉบับคลาสสิก (ต้นฉบับปี 1962 นับ "มีบ้านห้าหลัง" เป็นเงื่อนงำข้อหนึ่ง จึงโฆษณาว่ามีสิบห้าข้อ):
- คนอังกฤษอาศัยในบ้านสีแดง
- คนสเปนเลี้ยงสุนัข
- กาแฟถูกดื่มในบ้านสีเขียว
- คนยูเครนดื่มชา
- บ้านสีเขียวอยู่ติดขวามือของบ้านสีงาช้างพอดี
- คนสูบ Old Gold เลี้ยงหอยทาก
- บุหรี่ Kools ถูกสูบในบ้านสีเหลือง
- นมถูกดื่มในบ้านหลังกลาง
- คนนอร์เวย์อาศัยในบ้านหลังแรก
- คนสูบ Chesterfields อาศัยติดกับชายผู้เลี้ยงจิ้งจอก
- Kools ถูกสูบติดกับบ้านที่มีม้า
- คนสูบ Lucky Strike ดื่มน้ำส้ม
- คนญี่ปุ่นสูบ Parliaments
- คนนอร์เวย์อาศัยติดกับบ้านสีน้ำเงิน
ใครดื่มน้ำเปล่า? ใครเลี้ยงม้าลาย?
ข้อนี้คู่ควรกับตารางหนึ่งผืน ดินสอหนึ่งแท่ง และเวลาครึ่งชั่วโมง จัดให้มันเถอะ
เฉลย (มีคำตอบเดียว — ยืนยันแล้วด้วยการค้นแบบถ้วนทั่ว). เส้นทาง พร้อมทางแยกสองจุดโชว์อย่างซื่อตรง:
ปักสมอ. เงื่อนงำสองข้อเป็นสัมบูรณ์: คนนอร์เวย์อยู่บ้าน 1 (ข้อ 9) นมอยู่บ้าน 3 (ข้อ 8) ข้อ 14 จึงบังคับให้ น้ำเงิน = บ้าน 2 — เพื่อนบ้านเพียงคนเดียวของคนนอร์เวย์ ได้สามช่องแล้วโดยยังไม่ต้องเดาเลย
บีบสี. เขียวอยู่ติดขวาของงาช้างพอดี (ข้อ 5): คู่นี้ลงได้ที่ (3,4) หรือ (4,5) เพราะบ้าน 2 เป็นน้ำเงิน ขณะเดียวกัน บ้านแดงมีคนอังกฤษอาศัย (ข้อ 1) แดงจึงไม่ใช่บ้าน 1 (คนนอร์เวย์) หรือบ้าน 2 (น้ำเงิน)
นี่คือทางแยกแรก และบทเรียนแรกเรื่อง*การฆ่ากิ่ง* ลองงาช้าง = 3, เขียว = 4 แดงกับเหลืองจึงลงบ้าน 1 กับ 5; คนอังกฤษกันแดงออกจากบ้าน 1 ดังนั้นแดง = 5, เหลือง = 1 Kools = 1 (ข้อ 7), ม้า = 2 (ข้อ 11) กาแฟ = 4 (ข้อ 3) บ้าน 1 สูบ Kools จึงเป็นบ้านของ Lucky Strike กับน้ำส้มไม่ได้ (ข้อ 12) และคนนอร์เวย์ก็ไม่ใช่คนยูเครนผู้ดื่มชา — บ้าน 1 จึงดื่มน้ำเปล่า ส่วนชากับน้ำส้มลงที่บ้าน 2 กับ 5 บ้าน 5 คือคนอังกฤษ คนยูเครนกับชาของเขาจึงนั่งบ้าน 2 น้ำส้มกับ Lucky Strike อยู่บ้าน 5 คนสเปนกับคนญี่ปุ่นเติมบ้าน 3 กับ 4; บุหรี่ที่เหลือ — Old Gold, Chesterfields, Parliaments — เติมบ้าน 2, 3, 4 แล้วทุกอย่างก็ถล่ม: คนสูบ Old Gold เลี้ยงหอยทาก (ข้อ 6) แต่บ้าน 2 เลี้ยงม้า และบ้าน 3 หรือ 4 หลังที่ไม่ใช่คนญี่ปุ่นผู้สูบ Parliaments ก็คือคนสเปน — ผู้เลี้ยง*สุนัข* หอยทากไม่เหลือที่อยู่ กิ่งนี้ตาย ขีดฆ่ามันทิ้งอย่างสาแก่ใจ: กิ่งที่ตายแล้วคือข้อเท็จจริงหนึ่งข้อ
ดังนั้นงาช้าง = 4, เขียว = 5 และกาแฟ = 5 แดงกับเหลืองเติมบ้าน 1 กับ 3; คนอังกฤษกันแดงออกจากบ้าน 1 อีกครั้ง ดังนั้น แดง = 3 (คนอังกฤษ = 3), เหลือง = 1, Kools = 1 และม้าอยู่บ้านติดกันคือหลัง 2
กระจายเครื่องดื่ม. บ้าน 1 สูบ Kools จึงไม่ใช่ Lucky Strike จึงไม่มีน้ำส้ม; คนนอร์เวย์ไม่ใช่คนยูเครน จึงไม่มีชา; นมกับกาแฟถูกจองแล้ว บ้าน 1 ดื่มน้ำเปล่า (คำตอบแรก และมันมาถึงด้วยการคัดออกล้วนๆ) ชากับน้ำส้มเติมบ้าน 2 กับ 4 ทางแยกที่สองแบบสั้นๆ: ถ้าคนยูเครนนั่งบ้าน 4 น้ำส้มจะตกไปบ้าน 2 พร้อมกับ Lucky Strike — ทำให้คนญี่ปุ่นผู้สูบ Parliaments ไม่เหลือที่นั่งในช่องที่ยังว่าง และบังคับคนสเปนเจ้าของสุนัขไปทับม้าของบ้าน 2 ตายภายในสองตาเดิน ดังนั้น ยูเครน = 2, ชา = 2, น้ำส้ม = 4, Lucky Strike = 4
โดมิโนตัวท้ายๆ. บ้าน 4 กับ 5 รับคนสเปนกับคนญี่ปุ่น; Parliaments (ข้อ 13) นั่งบ้านเดียวกับที่ Lucky Strike จุดอยู่ไม่ได้ ดังนั้น ญี่ปุ่น = 5, สเปน = 4, สุนัข = 4 เหลือ Old Gold กับ Chesterfields สำหรับบ้าน 2 กับ 3; หอยทากตาม Old Gold ไป และบ้าน 2 เลี้ยงม้าอยู่แล้ว — ดังนั้น Old Gold = 3, หอยทาก = 3, Chesterfields = 2 จิ้งจอกอาศัยติดกับคนสูบ Chesterfields (ข้อ 10): บ้าน 1 หรือ 3; หอยทากครองบ้าน 3 อยู่ ดังนั้น จิ้งจอก = 1 สัตว์เลี้ยงลงที่แล้วสี่ตัว — ช่องที่ห้าว่างเปล่าและรอคอยอยู่
| บ้าน | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| สี | เหลือง | น้ำเงิน | แดง | งาช้าง | เขียว |
| สัญชาติ | นอร์เวย์ | ยูเครน | อังกฤษ | สเปน | ญี่ปุ่น |
| เครื่องดื่ม | น้ำเปล่า | ชา | นม | น้ำส้ม | กาแฟ |
| บุหรี่ | Kools | Chesterfields | Old Gold | Lucky Strike | Parliaments |
| สัตว์เลี้ยง | จิ้งจอก | ม้า | หอยทาก | สุนัข | ม้าลาย |
คนนอร์เวย์ดื่มน้ำเปล่า; คนญี่ปุ่นเลี้ยงม้าลาย — สองสิ่งที่เงื่อนงำไม่เคยเอ่ยถึงเลย ถูกบังคับให้ถือกำเนิดโดยทุกสิ่งที่เหลือ
ท่า — ปักสมอ แล้วแผ่ผล. ปักข้อเท็จจริงสัมบูรณ์ลงก่อน แล้วบีบทุกเงื่อนงำกับตารางซ้ำแล้วซ้ำเล่า; อย่าแตกกิ่งตราบใดที่ยังมีตาเดินบังคับเหลืออยู่ และเมื่อจำต้องแตกกิ่งจริงๆ จงเลือกช่องที่มีผู้สมัครน้อยที่สุด แล้วดำเนินคดีกิ่งนั้นให้ตายโดยไว วินัยนี้ — การแผ่ผลข้อจำกัด (constraint propagation) พร้อมการแตกกิ่งแบบขี้เกียจและฝืนใจ — คือวิธีหากินของ SAT solver ยุคปัจจุบันเป๊ะๆ
ที่มา พร้อมรอยยิ้ม. ปริศนาข้อนี้ถูกขายทั่วโลกในชื่อ "ปริศนาของ Einstein" บางครั้งพร้อมเครื่องเคียงว่า "มีคนเพียง 2% เท่านั้นที่แก้ได้" แหล่งกำเนิดที่แท้จริง: นิตยสาร Life International ฉบับ 17 ธันวาคม 1962 ไร้ชื่อผู้เขียน เฉลยพร้อมรายชื่อผู้แก้สำเร็จตามมาในเดือนมีนาคมปีถัดไป ตารางเอ่ยถึง Kools บุหรี่ยี่ห้อยุคทศวรรษ 1930 และตีพิมพ์เจ็ดปีหลัง Einstein เสียชีวิต; ป้ายผู้แต่ง Lewis Carroll ก็จมน้ำในอ่างเดียวกัน Einstein ไม่เคยเห็นมัน 2% คือการตลาด และปริศนาก็ไม่ต้องการทั้งสองอย่าง — มันคือผลงานชิ้นเอกของพนักงานนิตยสารนิรนาม ซึ่งไปๆ มาๆ กลับเป็นเรื่องเล่าที่ดีกว่าเดิมเสียอีก
ความไม่รู้คือข้อมูล
บันไดขั้นถัดไปอ่านแวบแรกเหมือนเป็นไปไม่ได้: ปริศนาที่ผู้คนประกาศแต่สิ่งที่ตัวเอง*ไม่รู้* — แล้วแค่นั้นกลับพอ เคล็ดลับคือเลิกได้ยิน "ฉันไม่รู้" เป็นคำขอโทษ แล้วเริ่มได้ยินมันเป็นข้อความทางคณิตศาสตร์ว่าด้วยเซตข้อมูลของผู้พูด
★★★ 6 · วันเกิดของ Cheryl
โจทย์. Cheryl บอกเดือนของวันเกิดเธอแก่ Albert และบอกวันแก่ Bernard โดยเลือกจาก: 15 พ.ค., 16 พ.ค., 19 พ.ค., 17 มิ.ย., 18 มิ.ย., 14 ก.ค., 16 ก.ค., 14 ส.ค., 15 ส.ค., 17 ส.ค. Albert: "ผมไม่รู้ว่าวันไหน แต่ผมรู้ว่า Bernard ก็ไม่รู้เหมือนกัน" Bernard: "ตอนแรกผมไม่รู้ แต่ตอนนี้รู้แล้ว" Albert: "งั้นตอนนี้ผมก็รู้แล้วเหมือนกัน" วันเกิดของ Cheryl คือวันไหน?
ต้านแรงอยากอ่านผ่านๆ ให้ได้ แต่ละประโยคคือตัวกรอง — ใช้มันตามลำดับ
เฉลย. จุดเริ่มพลาดคือพยายามเดาว่า Albert กับ Bernard กำลังคิดอะไรอยู่ อย่าทำ จงแปลถ้อยคำแต่ละประโยคให้เป็นข้อเท็จจริงเกี่ยวกับรายชื่อวันที่ผู้สมัคร แล้วตัดทิ้ง
ประโยค 1 ครึ่งหลัง — "ผมรู้ว่า Bernard ไม่รู้" Bernard จะรู้ทันทีก็ต่อเมื่อวันของเขาไม่ซ้ำใครในรายการ: 19 (มีแต่ พ.ค.) หรือ 18 (มีแต่ มิ.ย.) Albert ผู้ถือแค่เดือน กลับ*มั่นใจ*ว่า Bernard ไม่รู้ — เดือนของ Albert จึงต้องไม่มีวันเอกลักษณ์เลยสักวัน พ.ค. กับ มิ.ย. ถูกกวาดทิ้งยกเดือน เหลือ: 14 ก.ค., 16 ก.ค., 14 ส.ค., 15 ส.ค., 17 ส.ค.
ประโยค 2 — "ตอนแรกผมไม่รู้ แต่ตอนนี้รู้แล้ว" Bernard ผู้ถือวัน ระบุวันที่ได้แล้วในหมู่ผู้รอดชีวิต — วันของเขาจึงต้องปรากฏเพียงครั้งเดียวในสิ่งที่เหลือ เลข 14 ปรากฏสองครั้ง (ก.ค. กับ ส.ค.): ตัดทิ้ง เหลือ: 16 ก.ค., 15 ส.ค., 17 ส.ค.
ประโยค 3 — "งั้นตอนนี้ผมก็รู้แล้วเหมือนกัน" Albert ผู้ถือเดือน มั่นใจแล้วในตอนนี้ — เดือนของเขาจึงต้องมีผู้รอดชีวิตเพียงหนึ่งเดียว ส.ค. ยังถืออยู่สองตัว 16 ก.ค.
สังเกตสิ่งที่คุณเพิ่งทำไป: สามประโยคว่าด้วย*ความไม่รู้*ตรึงวันที่เพียงหนึ่งเดียวออกมาจากสิบ โดยไม่มีใครแถลงข้อเท็จจริงเกี่ยวกับวันเกิดเลยสักข้อ ความไม่รู้ที่ประกาศต่อสาธารณะคือข้อมูล (และใช่ — คำตอบตกลงที่วันที่ 16 กรกฎาคม วันเดียวกันเป๊ะกับที่บัญญัติปริศนาของหนังสือเล่มนี้ถูกรวบรวมและตรวจทาน บังเอิญ แต่เป็นความบังเอิญชนิดชวนอมยิ้ม)
ท่า — คัดออกผ่านความรู้ของคนอื่น. ทุกคำ "ไม่รู้ / ตอนนี้รู้แล้ว" คือข้อเท็จจริงแข็งๆ เกี่ยวกับเซตข้อมูลของผู้พูด; จงใช้มันเป็นตัวกรองกับรายชื่อผู้สมัครที่ทุกฝ่ายเห็นร่วมกัน ตามลำดับของบทสนทนา เครื่องยนต์เดียวกันนี้ขับเคลื่อนสัตว์ประหลาดห้าดาว — ปริศนาผลบวก-ผลคูณ "เป็นไปไม่ได้" ของ Freudenthal — ที่รออยู่ในบทที่ 7 เคียงข้างชาวเกาะหนึ่งร้อยคนผู้นิรนัยสีตาของตัวเองออกมาจากความเงียบล้วนๆ
ที่มา. SASMO (Singapore & Asian Schools Math Olympiad) เมษายน 2015; มันดังระเบิดไปทั่วโลกผ่านโพสต์ Facebook ของพิธีกรโทรทัศน์ Kenneth Kong ทำให้ตรรกศาสตร์เชิงญาณ (epistemic logic) กลายเป็นหัวข้อที่โลกเถียงกันมากที่สุดบนโต๊ะอาหารเช้าอยู่ชั่วขณะหนึ่ง สายตระกูลของมันวิ่งตรงกลับไปหาปริศนาความรู้ของ Freudenthal ปี 1969
นิรนัยแข่งกับนาฬิกา
ตารางตรรกะนั้นหยุดนิ่ง บันไดขั้นสุดท้ายเติมการจัดตารางเวลาเข้าไป — นิรนัยว่าด้วย*ลำดับของการกระทำ* — ที่ซึ่งกับดักคือข้อสมมุติที่ฟังสมเหตุสมผลเสียจนไม่รู้สึกว่าเป็นข้อสมมุติเลย
★★★ 7 · สะพานกับคบไฟ
โจทย์. คนสี่คนต้องข้ามสะพานเชือกในยามค่ำคืน สะพานรับได้ครั้งละไม่เกินสองคน; กลุ่มมีคบไฟหนึ่งอัน และคณะที่ข้ามต้องถือมันไปด้วยเสมอ เวลาข้ามของแต่ละคน: 1, 2, 5 และ 10 นาที; คู่ที่ข้ามด้วยกันเดินด้วยความเร็วของคนที่ช้ากว่า ทุกคนข้ามครบใน 17 นาทีได้หรือไม่?
คำตอบที่เห็นได้ชัดคือ 19 หยุดจนกว่าเลข 19 จะเริ่มกวนใจคุณ
เฉลย. แผนตะกละ — ให้คนเดิน 1 นาทีรับส่งทุกคน เพราะขากลับควรถูกที่สุด — ได้ว่า: 1&10 ข้าม (10), 1 กลับ (11), 1&5 ข้าม (16), 1 กลับ (17), 1&2 ข้าม (19) 19 นาที และนักแก้ส่วนใหญ่จอดตรงนี้ พร้อมความมั่นใจว่าโจทย์พิมพ์ผิด
ข้อสมมุติที่ฝังอยู่คือคนเร็วที่สุดควรถือคบไฟเสมอ จงตั้งคำถามว่า*โครงสร้างต้นทุน*ให้รางวัลกับอะไรกันแน่: การข้ามของ 5 กับ 10 คือรายการแพง และในแผนตะกละคุณจ่ายทั้งสองรายการแยกบิลกัน ถ้าให้ทั้งคู่ข้าม*ด้วยกัน*ล่ะ ให้ 10 กลืนต้นทุนของ 5 ไปทั้งก้อน?
นั่นต้องมีการจัดฉาก: 1&2 ข้าม (2), 1 กลับ (3), 5&10 ข้าม (13), 2 กลับ (15) — เจ้า 2 ถูกจอดไว้ฝั่งโน้นล่วงหน้าก็เพื่อให้มีคนส่งสารราคาถูกพร้อมใช้พอดี — 1&2 ข้าม (17) สิบเจ็ด คุณจ่ายขากลับถูกๆ เพิ่มหนึ่งเที่ยว (ของเจ้า 2) เพื่อรวมสองต้นทุนที่เลวร้ายที่สุดเข้าเป็นบิลใบเดียว ยืนยันแล้วว่าเหมาะที่สุด — ไม่มีกลยุทธ์ใดชนะ 17 (ปริภูมิกลยุทธ์ทั้งหมดถูกค้นจนหมดแล้ว; นี่คือแดนของอัลกอริทึม Dijkstra ถ้าคุณชอบขี่ช้างจับตั๊กแตน)
ท่า — จับของแพงหารบิลเดียวกัน. สอบสวนข้อสมมุติแบบตะกละด้วยการถามว่าโครงสร้างต้นทุนให้รางวัลกับอะไรจริงๆ — ในที่นี้คือการจัดคิวสองต้นทุนเลวร้ายที่สุดให้ซ้อนทับกัน จนอันหนึ่งซ่อนอยู่ในอีกอัน จัดแบตช์คิวรีฐานข้อมูลช้าๆ ของคุณเข้าด้วยกัน; วาง migration ก่อกวนทั้งสองงานไว้ในหน้าต่างซ่อมบำรุงเดียวกัน (ที่มา: สืบย้อนได้ถึง Super Strategies for Puzzles and Games ของ Levmore & Cook ปี 1981; คำถามสัมภาษณ์ Microsoft ชื่อดังยุคทศวรรษ 1990 สมัยที่การสัมภาษณ์งานยังสนุกอยู่)
ท่าที่คุณครอบครองแล้ว
ปริศนาหกข้อ หกท่า — ชั้นวางความเคร่งครัดของกล่องเครื่องมือ:
- สมมุติ แล้วหักมัน (2) — แยกกรณีโดยมีความขัดแย้งเป็นเพชฌฆาต
- พับคำโกหกทบตัวมันเอง (4) — ส่งสัญญาณวิ่งผ่านความบิดเบือนของมันเองให้หักล้างกัน
- ความผิดล้วนคือข้อมูล (3) — ความผิดที่การันตีได้มีค่าเท่าความจริงที่การันตีได้
- ปักสมอ แล้วแผ่ผล (5) — สัมบูรณ์มาก่อน; อย่าแตกกิ่งขณะยังมีตาเดินบังคับ; ฆ่ากิ่งให้ไว
- คัดออกผ่านความรู้ของคนอื่น (6) — ความไม่รู้ที่ประกาศออกมาคือตัวกรอง; ใช้ตามลำดับบทสนทนา
- จับของแพงหารบิลเดียวกัน (7) — ตรวจว่าโครงสร้างต้นทุนให้รางวัลอะไร ก่อนจะเชื่อความตะกละ
ข้อสังเกตปิดท้ายที่บทถัดๆ ไปจะลับให้คมขึ้นเรื่อยๆ ไม่มีอะไรในบทนี้ต้องใช้อัจฉริยภาพเลย — ม้าลายพ่ายให้กับการทำบัญชี, Cheryl พ่ายให้กับตัวกรองสามชั้น, สะพานพ่ายให้กับข้อสมมุติหนึ่งข้อที่ถูกตั้งข้อสงสัย นิรนัยคือศิลปะการคิดที่เรียนรู้ได้ง่ายที่สุด ก็เพราะเนื้อหาทั้งหมดของมันคือ*กระบวนวิธี*: ใช้ตาเดินบังคับให้หมด เรียกชื่อข้อสมมุติของตัวเอง ปฏิบัติต่อความไม่รู้ในฐานะหลักฐาน ส่วนเครื่องจักรนั้น ต้องพูดกันตรงๆ ว่าทำการใช้เหตุผลรสนี้ได้เลิศเลอ — ตารางและตารางเวลาคือสนามเหย้าของพวกมัน แต่เหตุผลที่ควรฝึกอยู่ดีจะมาถึงทุกครั้งที่ปัญหายื่นข้อจำกัดให้คุณโดยไม่ยื่น solver แถมมาด้วย: สัญญาฉบับหนึ่ง การวินิจฉัยโรค ตารางเวลา พยานคนหนึ่งผู้บอกคุณแต่เพียงสิ่งที่เขาไม่รู้
บทถัดไป · 11 / 21ตัวเลข โอกาส และรูปทรง